Trọng tâm tam giác là một kiến thức quan trọng của toán học trong chương trình phổ thông. Nó được sử dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày của mọi người. Bài viết dưới đây giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm trong tâm và xác định trọng tâm một cách đơn giản và dễ dàng nhất.
Trọng tâm là gì?
Khái niệm
Trọng tâm là trọng tâm của một hình, hay nói cách khác, trọng tâm của một vật là điểm mà nếu đặt cây cột thẳng vào điểm đó thì vật đó có thể đứng thăng bằng.
Trọng tâm là một ứng dụng thường được sử dụng trong cuộc sống thực. Trong toán học, trọng tâm là một trong những tính chất rất quan trọng, đặc biệt là với hình tam giác.
Trọng tâm của tam giác là gì?
Trọng tâm của một tam giác là tâm của tam giác đó, là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. trong đó đường trung tuyến là đường nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.
Theo SGK lớp 7, tâm của tam giác được định nghĩa là: “Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến này đi qua cùng một điểm, điểm này gọi là tâm bary của tam giác.
Tính chất của trọng tâm
Bản chất quan trọng nhất của trọng tâm như sau: “Khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của một tam giác bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến tương ứng với đỉnh này”.
Như hình vẽ, ta có tam giác ABC, các trọng tâm G, P, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC nên các đường trung tuyến sẽ là CP, AM, BN.
Như trên, ta có:
GA = 2/3 sáng
GB = 2/3 NĂM
GC = 2/3 CP
– Quy luật trọng tâm của tam giác theo vectơ:
Trọng tâm của tam giác được xác định là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác. Áp dụng quy tắc vectơ, ta có:
Cho hình vẽ trên lấy điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
với mọi điểm M.
Cách xác định trọng tâm
Dựa vào định nghĩa và tính chất của trọng tâm, ta có hai cách vẽ trọng tâm của tam giác như sau:
Cách 1: Xác định trọng tâm của tam giác theo tính chất (trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến)
- Bước 1: vẽ tam giác ABC
- Bước 2: Xác định lần lượt các trung điểm P, M, N của các cạnh AB, BC, AC.
- Bước 3: Nối A với trung điểm M của cạnh BC, làm tương tự nối B với trung điểm N của cạnh AC và nối C với trung điểm P của cạnh AB.
- Bước 4: Sau khi thực hiện bước 3 như trên, ta sẽ có ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC, giao điểm của ba đường trung tuyến này gọi là G và là trọng tâm của tam giác ABC.
Lưu ý: ba đường trung tuyến này chắc chắn sẽ hội tụ tại một điểm. Nếu bạn không thể vẽ chúng cùng lúc, có thể bạn đã xác định sai điểm giữa ở bước 2.
Cách 2: Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác: “Khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó”.
- Bước 1: vẽ tam giác ABC
- Bước 2: Xác định trung điểm M của cạnh BC
- Bước 3: Nối A với M để tạo thành đường trung tuyến AM của tam giác ABC
- Bước 4: Xác định điểm G trên cạnh AM sao cho AG = ⅔ AM.
Và G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trọng tâm của một số hình đặc biệt
Trọng tâm của tam giác cân
Cho tam giác cân ABC tại AM có M là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: AG vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của góc BAC và đường cao của tam giác ABC => AG vuông góc với BC.
Trọng tâm của tam giác vuông
Cho tam giác ABC, hình chữ nhật có A, I là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác ABC như hình vẽ:
Ta sẽ được AI = BC = BI = CI
Chứng minh điều này rất đơn giản: ta vẽ đường tròn tâm I và các đường kính BC, A, B, C là các điểm trên đường tròn có BC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại A, từ đó ta có AI, BI,CI là bán kính của đường tròn nên AI = BI = CI.
Từ tính chất trên ta cũng thu được tam giác ABI và tam giác ACI cân tại I và AMIN sẽ tạo thành hình chữ nhật.
Trọng tâm của tam giác đều
Cho tam giác đều ABC, G là giao điểm của ba đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác.
Như vậy, theo tính chất của tam giác đều, ta có G là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Một số bài toán vận dụng trọng tâm của tam giác
Bài tập 1: Cho MNP là tam giác cân tại M, MH vuông góc với NP. Chứng minh MH là đường trung bình của tam giác MNP.
Trả lời:
Xét tam giác vuông MNH tại H và tam giác vuông MPH tại H:
MN = MP (Vì tam giác MNP cân ở M)
AH là cạnh chung
Vậy tam giác MNH = tam giác MPH (cạnh hạ góc – cạnh góc vuông)
Suy ra NH = PH (hai cạnh trùng nhau)
Suy ra H là trung điểm của NP.
Vậy MH là đường trung bình của tam giác MNP.
Bài 2: Cho tam giác DEF có M, N lần lượt là trung điểm của DE và DF. Biết FM và EN cắt nhau tại H. Chứng minh DH là đường trung bình của tam giác DEF.
Trả lời:
Vì M và N lần lượt là trung điểm của DE và EF nên FM và EN là đường trung bình của tam giác DMN.
Vì FM và EN cắt nhau tại H nên DH là đường trung tuyến thứ ba của tam giác DEF.
Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC tại A có G là trọng tâm. Chứng minh tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.
Trả lời:
Cho tam giác vuông ABC tại A có G là trọng tâm. Vì AI là đường trung bình của góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.
Vậy tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G của tam giác ABC.
Trả lời:
Gọi M là trung điểm của BC.
Suy ra: AM là đường trung bình có một nửa cạnh huyền nên AM = 1/2BC
BC = (AB^2 + AC^2) = ( 3^2 + 4^2 ) = 5cm
⇒ AM = 1/2 x 5 = 2,5cm
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3 AM = 2/3,2,5 = 1,7 cm.
Vậy AG = 1,7 cm.
Bài 5: Xét tam giác ADP có hai đường trung tuyến DE và PF cắt nhau tại G. AG kéo dài cắt PD tại M. Chứng minh MP = MD.
Trả lời:
Vì tam giác ADP có hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ADP.
Vì AM đi qua G nên AM là đường trung tuyến thứ ba.
Suy ra M là trung điểm của DP.
Vậy MD = MP.
Bài tập 6: Giả sử I là tâm bary của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Trả lời:
Xét các đường tròn MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.
Khi đó MS, PR, NO hội tụ tại trọng tâm I.
Chúng ta có đồng phục ∆MNP, do đó:
MS = PR = KHÔNG (1).
Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất trung vị:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Bài 7: Gọi G là tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Trả lời:
a) So sánh các cạnh của BGG’ với các đường trung tuyến của ABC BG cắt AC tại N
CG cắt AB ở E
G là trọng tâm của ABC
⇒GA = 2 3 giờ sáng ⇒GA = 23 giờ sáng
Trong đó GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)
. ⇒ G G ′ = 2 3 A M ⇒GG′=23 AM .
Vì G là tâm của ABC ⇒ G B = 2 3 B N GB=23BN
Ngược lại: G M = 1 2 A G GM=12AG (G là trọng tâm)
A G = G G ⇒ G M = 1 2 G G AG = GG′⇒GM=12GG′
M là trung điểm của GG’
Do đó Δ G M C = Δ G ′ M B ΔGMC = ΔG′MB vì:
G M = M G MB = M C ∠G M C = G ′ M B ⇒ BG ′ = C G GM = MG′MB=MC∠GMC =∠G′MB⇒BG′=CG
Trong đó C G = 2 3 C E CG=23CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)
⇒ B G ′ = 2 3 C E BG′=23CE
Vậy mỗi cạnh của BGG’ là 2 3 23
b) So sánh các đường trung bình của BGG’ với cạnh ABC
Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’
Và M là trung điểm của BC nên B M = 1 2 B C BM=12BC
Vì I G = 1 2 B G IG=12BG (I là trung điểm của BG)
G N = 1 2 B G GN=12BG (G là trọng tâm)
⇒ IG = GN ⇒ IG = GN
Vậy I G G = N G A _ _ ( c . g . c ) ΔIGG′ = ΔNGA (cgc)
⇒ IG ′ = A N ⇒ I G = 1 2 AC IG ′ = AN⇒ IG′ = 12AC
Gọi K là trung điểm của BG ⇒ GK là trung điểm BGG’
Vì G E = 1 2 G C GE=12GC (G là trọng tâm của ∆ABC)
⇒ G E = 1 2 B G ⇒ GE = 12BG
Trong đó K là trung điểm của BG’ KG ‘ = EG
Vì ∆GMC = G’BM (đã chứng minh ở trên)
⇒ ∠ G C M = ∠ G ′ B M ⇒∠GCM=∠G′BM (góc trong của đế nữa)
⇒ C E / / B G ′ ⇒ ∠ A G E = ∠ A G ′ B ⇒ CE//BG′⇒∠AGE=∠AG′B (đồng vị)
Do đó A G E = G G ′ K _ ( c . g . c ) A E = G K TUỔI =ΔGG′K(cgc)⇒AE=GK
Trong đó A E = 1 2 A B AE=12AB do đó G K = 1 2 A B GK=12AB
Như vậy, mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác song song ABC.
Bài 8: Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA 1 AA1 và BB 1 BB1 cắt nhau tại điểm O. Tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO là 5 cm 2 . 5cm2.
Trả lời:
Chúng ta có:
