Bài toán nguyên hàm là những bài toán khó thường gặp trong các bài kiểm tra hoặc bài thi toán lớp 12. Dưới đây là một số phương pháp giải dạng toán này và một số ví dụ minh họa, mời bạn đọc theo dõi. .
Nguyên hàm là gì?
Định nghĩa
Giả sử hàm f(x) được xác định trên K. Hàm F(x) được gọi là hàm nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Họ tất cả các dạng nguyên hàm của hàm f(x) được ký hiệu là ∫f(x) = F(x)+C.
Nhận xét: Mỗi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Định lý:
Định lý 1:
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên K, thì với mỗi hằng số C, hàm G(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên K .
Chứng minh: Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C không đổi nên (C)’ = 0.
Chúng ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)
Vì vậy G(x) là nguyên hàm của f(x).
Định lý 2:
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên K, thì mỗi nguyên hàm của f(x) trên K có dạng F(x) + C, trong đó C là một hằng số.
Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:
(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.
Vậy G(x) – F(x) là hàm hằng trên K. Ta có:
G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.
Tính chất của nguyên hàm
∫ f(x)dx)’ = f(x) + C
Tính chất này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của nguyên hàm. Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên K, thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
∫ kf(x) dx=k∫ f(x) dx (với k 0)
Ta có kf(x) = F(x).
Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].
Chứng minh theo tính chất 1, ta có:
( k ∫ f ( x ) d x ) = k ( ∫ [1/k . F(x)]’. d x ) = k. { [1/kF(x)] + C ) = F(x) + k. C1 ( C1 ∈ R)
=F(x) + C (vì C 1 tùy ý thuộc R và k 0 nên C = k. C 1 tùy ý thuộc R)
= kf ( x ) dx _ _
Nếu f, g là hai hàm liên tục trên K , thì ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Chứng minh:
– Cho F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x).
– Tìm đạo hàm hai vế và kết luận.
Giải:
Cho F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x).
Ta có f ( x ) = F ′ ( x ) , g ( x ) = G ′ ( x ).
Suy ra [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = [ F ′ ( x ) ± G ′ ( x ) ] d x _
= [ F ( x ) ± G ( x ) ] d x = F ( x ) ± G ( x ) + C _ _
Lại ∫f ( x ) dx ± ∫g ( x ) dx = ∫F ′ ( x ) dx ± ∫G ′ ( x ) dx = F ( x ) ± G ( x ) + C. _ _ _ _ _ _ _
Vậy [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x
∫ kf(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ⇒ ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=kf(x) dx + lg(x) dx
Công thức đổi biến số
f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + C
Công thức nguyên hàm từng phần
udv = uv – vdu
Bảng nguyên hàm
Một số nguyên tắc tính toán cơ bản:
– Tích của đa thức hoặc lũy thừa → khai triển.
– Tích của hàm mũ → khai triển theo công thức hàm mũ.
– Bậc chẵn của sin hoặc cos → bậc thấp: sin 2 a=1/2-1/2 cos 2a;
cos2a =1/2+1/2 cos2a
Chứa tích các nghiệm của x → chuyển thành lũy thừa.
Phương pháp giải các bài toán nguyên hàm
Phương pháp đổi biến số
Nếu ∫ f (x) dx = F (x) + C, thì ∫ f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + C
Giả sử chúng ta cần tìm họ các nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, trong đó chúng ta có thể phân tích hàm đã cho f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì ta thực hiện phép biến đổi tập biến t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Vì vậy, chúng ta thấy I = ∫ g(t) dt = G(t) + C = G [u(x)] + C.
Lưu ý: Sau khi tìm họ nguyên thủy theo t, ta cần thay thế t = u(x).
Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I = ∫ [P(x) / Q(x)]. dx
Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) → chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của mẫu số Q(x) → phân tích mẫu Q(x) dưới dạng tích các số thì dùng phép chia để về công thức số nguyên.
Nếu mẫu không thể được phân tích cú pháp dưới dạng tích số → cộng hoặc trừ để thay đổi các biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X = a tan t, nếu mẫu được trả về là X 2 + a 2
Nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Sau đó chúng tôi có được:
udv = uv – vdu (*)
Để tính nguyên hàm ∫ udv = uv – ∫ vdu bằng phương pháp riêng phần, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Chọn u, v sao cho f(x) dx = udv (Chú ý dv = v'(x) dx)
Tính: v = ∫ dv và du =u’dx.
Bước 2: Thay công thức (*) và tính ∫ vdu.
Cần chọn u và dv hợp lý sao cho v dễ tìm và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv.
Lời khuyên cần nhớ: “Mẻ đầu, số nhì, ba số, bốn mũ”
Ví dụ 1: Cho hàm f(x) liên tục trên R. Biết x 2 – 3x + 1 là nguyên hàm của hàm f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm f'(x) ) . e 2x là
Câu trả lời:
Chúng ta có x 2 – 3x +1 là nguyên hàm của hàm f(x)/x, vì vậy f(x)/x = (x 2 – 3x +1)’ = 2x – 3.
Suy ra f(x) = 2x 2 – 3x suy ra f'(x) = 4x – 3. Xét I = ∫ (4x – 3). e 2x dx.
Xác định u= 4x – 3; dv = e 2x dx do đó du = 4dx; v = 1/2 e 2x
Sau đó chúng tôi có:
i = ∫ (4x – 3). e 2x dx = [(4x – 3). e 2x ] /2 – 2 ∫ e 2x dx = [(4x – 3). e 2x ] /2 – e 2x + C = [(4x – 5. e 2x )/2] + C.
Ví dụ 2: Tìm ∫ sin 5x. cosx dx.
Chúng ta có: ∫ sin5x. cos x dx = 1/2 (sin6x + sin4x) dx
= 1/2 {- [cos6x)/6] – 1/4. cos 4x} + C = -1/12. cos6x – 1/8. cos4x + C.
Ví dụ 3: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) = 1/(x-2), thỏa mãn F(3) = 1 và F(1) = 2 thì giá trị của F(0) + F(4) là:
Câu trả lời:
Hàm f(x) được xác định trên R/{2}.
Chúng ta có: F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 1/ (x-2) . dx= { Trong (x – 2) + C 1 khi x > 2; In (2 – x) + C 2 khi x < 2.
Làm { F(3) = 1; F(1) = 2 ⇔ { C 1 = 1; C 2 = 2. Khi đó F(x) = { Trong (x – 2) + 1 khi x >2; In (2-x) + 2 khi x < 2.
Do đó: F(0) + F(4) = ( Trong 2+2) + (Trong 2+1) = 2 Trong 2+3.
Một số bài tập:
Bài tập 1: Xét hàm f(x) thỏa mãn f(2) = -1/5 và f'(x) = x 3 [f(x)] 2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f(1) bằng bao nhiêu ?
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm:
a) x.2 x dx
b) (x 2 -1) e x dx
Bài 3: Cho hàm f(x) liên tục trên R. Biết x 2 – 3x + 1 là nguyên hàm của hàm f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm f'(x) Qu ‘ là .e 2x ?
