Tam giác vuông là gì? Làm thế nào để chứng minh một tam giác vuông? Định lý Pythagore liên quan đến tam giác vuông? Đường trung tâm trong một tam giác vuông? Các dấu hiệu để nhận biết tam giác vuông? Tính chất của tam giác vuông? Bài tập?
Tam giác vuông là gì?
Tam giác vuông là tam giác chỉ có một góc vuông (tức là góc 90 độ).
Tam giác ABC vuông tại A:
+ Hai cạnh AB và AC kề với một góc vuông gọi là các cạnh bên (còn gọi là các cạnh góc vuông).
Cạnh BC đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
Cách chứng minh tam giác vuông
Chứng minh rằng một tam giác là tam giác vuông có 5 là:
- Chứng minh rằng trong một tam giác có một góc bằng 90 độ
- Chứng minh rằng trong một tam giác tổng hai góc nhọn bằng 90 độ
- Chứng minh rằng trong một tam giác bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia. Áp dụng định lý Pythagore.
- Chứng minh rằng trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh này.
- Chứng minh rằng trong một tam giác có một hình bán nguyệt nội tiếp (một cạnh có cùng đường kính).
* Cách 1: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cần chứng minh tam giác đó có tổng 2 góc nhọn bằng 90 độ (thêm 2 góc nhọn).
Ví dụ 1: Tam giác ABC có góc C + B = 90°
⇒ Tam giác ABC vuông tại A.
* Cách 2: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, ta chứng minh bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có AC2 + AB2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông tại A.
* Cách 3: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cần chứng minh tam giác đó có đường trung bình ứng với một nửa cạnh này (cạnh giả định) .
Ví dụ 3: Tam giác ABC có M là trung điểm BC, biết AM = MB = MC = BC
=> Tam giác ABC vuông tại A.
* Cách 4: Chứng minh trong một tam giác có một góc bằng 90 độ (tổng 2 góc còn lại bằng 90 độ) .
+ Cách chứng minh : Đặt góc cần chứng minh vào một góc của một tứ giác rồi chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi hoặc hình vuông.
* Cách 5: Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cần chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có đường kính một cạnh.
Ví dụ 4: Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB
=> Tam giác MAB vuông tại M.
Định lý Pythagore liên quan đến tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông .
Đường tâm trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, đường trung bình của cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền .
Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông:
• Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông .
• Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông .
• Tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia là tam giác vuông .
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh này là tam giác vuông .
• Tam giác nội tiếp đường tròn có cạnh bằng đường kính là tam giác vuông .
Cách dựng tam giác vuông ABC tại tâm A
Cho cạnh huyền BC = 5 cm và cạnh góc vuông AC = 3 cm.
– Đoạn thẳng AC = 3cm
– Vẽ góc CAx bằng 90 độ .
– Vẽ cung tròn tâm C bán kính 5 cm cắt Ax tại B. Nối BC ta có Δ ABC cần dựng.
Tính chất của tam giác vuông
– Tính chất 1: Trong tam giác vuông , hai góc nhọn bù nhau (vì một góc bằng 90 độ).
Ví dụ: tam giác DAB vuông tại D
=> Góc A + B = 90°
– Tính chất 2: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông .
Ví dụ: tam giác DAB vuông tại D
=> DA2 + DB2 = AB2
– Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung bình của cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ví dụ: Tam giác vuông DAB ở D có M là trung điểm AB
=> DM = DA = B = AB
Bài tập chứng minh tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC tại A. Biết AC=57. Độ cao AH = 15cm. Áp dụng hệ số trong tam giác vuông tính HB, HC.
Bài 2: Cho tam giác vuông ABC tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AM. Tính MD, MB, MC.
Bài 3: Cho ∆ABC bình phương tại A. Vẽ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC khi biết AH = 14cm, HB , HC=14 .
Bài tập 4: Cho tam giác vuông ABC tại A , đường cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài đường cao AH.
Bài 5: Cho tam giác vuông ABC tại A có BD là phân giác của góc B. Biết AD = 2cm; ĐB=12cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC biết góc B = 60 độ, BC = 8 cm; AB + AC = 12cm. Tính độ dài cạnh AB.
Bài 7: Cho ABCD là hình thang cân. Trong đó, đáy lớn của hình thang là CD=10cm, đáy nhỏ bằng chiều cao, đường chéo vuông góc với một cạnh của hình thang. Tìm độ dài đường cao của hình thang cân ABCD .
Bài 8:
a. Cho tam giác ABC biết góc B = 60 độ, góc C = 50 độ, AC = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Cho tứ giác ABCD có góc A = Góc D = 90 độ, Góc C = 40 độ, AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.
so với Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho AC=4. BD=5, Góc AOB=50 độ. Tính diện tích tứ giác ABCD bằng công thức lượng giác.
Bài 9: Cho ∆ABC là hình chữ nhật ở A, đường cao là AH, biết chu vi tam giác AHB = 40cm, chu vi tam giác ACH = 5dm. Tính chu vi tam giác ABC và các cạnh BH, CH .
Bài 10: Chu vi của một hình tam giác là 120 cm. Độ dài các cạnh lần lượt tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh tam giác đó là tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách giữa giao điểm của ba đường phân giác và mỗi cạnh của tam giác.
Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, góc B bằng 60 độ và góc A bằng 90 độ.
a) Tính độ dài đường chéo BD.
b) Tìm khoảng cách giữa BH và DK từ B và D đến cạnh AC.
c) Tính độ dài HK.
d) Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài , tính BE, CE và DC .
Bài 12: Cho tam giác vuông ABC tại A. AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC.
a) Hiển thị DEDB=DBDC.
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng góc AFB + góc BCD
Bài 14: Xét đoạn thẳng AB = 2a. Từ điểm M của AB vẽ tia Mx vuông góc với AB. Trên Mx lấy điểm D sao cho OD=a2. Từ B ta tiếp tục vẽ BC vuông góc với AD của tam giác.
a) Tính độ dài các cạnh AD, AC, BC dựa trên a.
b) Kéo dài DO sao cho ME = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, E cùng thuộc một đường tròn (thuộc đường tròn).
Bài 15: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b. Vẽ đường phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E đến EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh rằng EA = EP.
Bài 16: Cho tam giác vuông ABC tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 17: Cho tam giác vuông ABC tại A. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại O.
a.Tính độ dài cạnh BC
b. Chứng minh rằng góc CBO bằng góc OCB.
so với Trên tia đối diện của tia OB lấy điểm F sao cho OF = OC. Chứng minh tam giác BEC vuông.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm
MỘT. Tính độ dài cạnh AC
b. Vẽ AH vuông góc với BC. Tính độ dài ba cạnh AH, BH, CH.
so với Gọi E là trung điểm của BC. Tính độ dài AE
d. Trên phản tia EA lấy O sao cho EO = EA. Chứng minh BO = AC và BO // AC
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A.
MỘT. Tính độ dài cạnh AC biết AB = 5 cm và BC = 13 cm
b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh hai góc ABI và góc CBI
so với Cho tam giác ABC có góc A = 30O và EC = 6cm. Tính chu vi tam giác ABC
Bài học 20 :
Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tìm các góc B, C và đường cao AH của tam giác này.
b) Điểm M ở đâu thì diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC?
Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Chứng minh
MỘT. BM=CN
b. AG là phân giác của góc BAC
so với Minnesota//BC
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC tại A. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại N.
MỘT. Tính độ dài cạnh BC
b. Chứng minh rằng góc CBN bằng góc NCB.
so với Trên bán kính đối diện của bán kính NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh tam giác BEC vuông.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A.
MỘT. Tính AC biết AB = 5 cm và BC = 13 cm
b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI và góc CBI
so với Cho tam giác ABC có góc A = 30 O và EC = 6 cm. Tìm chu vi tam giác ABC
